大家好，今天我想和大家详细讲解一下关于“欧拉公式证明是什么”的知识。为了让大家更好地理解这个问题，我将相关资料进行了分类，现在就让我们一起来学习吧。

欧拉公式证明是什么

方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x =e^(iy)

用牛顿幂级数展开式

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......

把 e^(iy) 展开，就得到

e^z/e^x = e^(iy)

=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....

=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)

+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)

由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,

siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....

所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)

即 e^(iy) = (cosy+isiny)

方法二：再 请看这2个积分

∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2

∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;

上式左边相当于下式左边乘以i

于是上式右边相当于下式右边乘以i

然后化简就得到欧拉公式

这个证明方法不太严密

但很有启发性

历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系

然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t θ?0?7R,ρ?0?7R+,a^(it)?0?7z有:

a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1

因共轭解适合方程,用-i替换i有:

a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2

由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为:

a^(it)=cosθ+isinθ 3

设t=u(θ),对3微商有:

[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ 整理有:

[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有:

u'(θ)=logae 4

4取积分有:

T=(logae)*θ+Ψ 5

θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有:

a^(iΨ)=1 即:

Ψ=0 6

6代入5有:

T=(logae)*θ 7

7代入3有:

[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ 化简得欧拉公式:

e^(iθ)=cosθ+isinθ

欧拉公式的证明过程谁知道

用拓朴学方法证明欧拉公式

尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假

设f，e和v分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么

f-e+v=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

证明

（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设f′，e′和v′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明f′-e′+v′=1。

（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，f′和e′各增加1，而v′却不变，所以f′-e′+v′不变。因此当完全分割成三角形的时候，f′-e′+v′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△abc，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即ac，这样也就去掉了△abc。这样f′和e′各减去1而v′不变，所以f′-e′+v′也没有变。

（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△def，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即df和ef，这样就去掉△def。这样f′减去1，e′减去2，v′减去1，因此f′-e′+v′仍没有变。

（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。

（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此f′-e′+v′仍然没有变。

即f′-e′+v′=1

成立，于是欧拉公式：

f-e+v=2

得证。

欧拉公式如何推导出来

推导过程

这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式

在e^x的展开式中把x换成±ix.

所以?

由此：?，?，然后采用两式相加减的方法得到：?

中的x取作π就得到：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；

以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

扩展资料：

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理?，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。?

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

参考资料：

欧拉公式具体是什么?

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理?，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。

后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

扩展资料：

数学归纳法证明：

1、当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

2、设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ，地图上只有 m 个区域了。

在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点。

则该顶点保留 ，同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点 ，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：

1、减少一个区域和一条边界。

2、减少一个区 域、一个顶点和两条边界。

3、减少一个区域、两个顶 点和三条边界。

百度百科——欧拉公式

欧拉公式的详细推导过程

欧拉公式推导全过程如下：

不论是高等数学还是大学物理，欧拉公式都如影随形。因为其重要性和划时代意义，EulerFormula(欧拉公式)有着很多了不起的别称，例如“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”等等。

欧拉公式三种形式分别是：分式里的欧拉公式=a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)，复变函数论里的欧拉公式为e^ix=cosx+isinx，三角形中的欧拉公式为d＾2=R＾2-2Rr。

把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

复变函数论中的欧拉公式证明：

1、当R=2时，由说明这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2，于是R+V-E=2，欧拉定理成立。

2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。

3、在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

好了，今天关于“欧拉公式证明是什么”的话题就讲到这里了。希望大家能够对“欧拉公式证明是什么”有更深入的认识，并且从我的回答中得到一些帮助。